图论 | 欧拉回路 | 太鼓达人

Description

七夕祭上,Vani牵着cl的手,在明亮的灯光和欢乐的气氛中愉快地穿行。这时,在前面忽然出现了一台太鼓达人机台,而在机台前坐着的是刚刚被精英队伍成员XLk、Poet_shy和lydrainbowcat拯救出来的的applepi。看到两人对太鼓达人产生了兴趣,applepi果断闪人,于是cl拿起鼓棒准备挑战。然而即使是在普通难度下,cl的路人本性也充分地暴露了出来。一曲终了,不但没有过关,就连鼓都不灵了。Vani十分过意不去,决定帮助工作人员修鼓。

鼓的主要元件是M个围成一圈的传感器。每个传感器都有开和关两种工作状态,分别用1和0表示。显然,从不同的位置出发沿顺时针方向连续检查K个传感器可以得到M个长度为K的01串。Vani知道这M个01串应该是互不相同的。而且鼓的设计很精密,M会取到可能的最大值。现在Vani已经了解到了K的值,他希望你求出M的值,并给出字典序最小的传感器排布方案。

Input

一个整数K。

Output

一个整数M和一个二进制串,由一个空格分隔。表示可能的最大的M,以及字典序最小的排布方案,字符0表示关,1表示开。你输出的串的第一个字和最后一个字是相邻的。

Hint

得到的8个01串分别是000、001、010、101、011、111、110和100。注意前后是相邻的。长度为3的二进制串总共只有8种,所以M = 8一定是可能的最大值。

对于全部测试点,2≤K≤11。

分析

开始一看这个题好像跟欧拉回路扯不上半点关系,但是,根据输入输出样例来猜测,我们可以知道第一问的答案显然是:$2^n$

然后题目好像是要求给出一个数 K,将小于等于 K 的所有数字表示成二进制后,将首尾一样的二进制数首尾连接起来(连接的时候保证前一个数的最后一位与后一个数的第一位一样,且在这两个相同的数字中只保留一个)成一个串,而且这些数不能重复使用,要求出一个最小的长度为 M(M就是第一问的答案)的串

DFS 来做,思路是:先构造一个包含 $2^n-1$ 个点的图 G,然后对于每个点 S,将 S 与 (S«1)&(M-1) 和 (S«1)&(M-1) +1 号点分别连出一条边,会发现图 G 是一个欧拉图,用 DFS 求出这个图的欧拉回路然后逆序输出,同时满足字典序最小的条件即可

上面运算时与 (M-1) 相与是为了甩掉多余的位数从而得出下一个目标点的编号

实际编程用不到这么复杂,其实就一个 DFS+VIS数组 判断是否访问过即可

## Codes

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <iostream>
#define maxn 10001
using namespace std;
int res[maxn],n,maxk;
bool vis[maxn];
int euler(int k){
	int s1=(k<<1) & maxk;
	int s2=((k<<1) & maxk) + 1;
	if(!vis[s1]){
		vis[s1]=true; euler(s1);
		res[++res[0]]=0;
	}if(!vis[s2]){
		vis[s2]=true; euler(s2);
		res[++res[0]]=1; 
	}
}
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("testin.txt","r",stdin);
	freopen("testout.txt","w",stdout);
	#endif
	cin>>n; maxk=1<<n; cout<<maxk;
	maxk--;
	putchar(' ');
	for(int i=1;i<n;i++) cout<<0;
	euler(0);
	for(int i=res[0];i>=n;i--) cout<<res[i];	
	return 0;
}